INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

MAEG – Investigação Operacional II – Modelos aleatórios de Stocks

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1.	Uma empresa vai instalar um equipamento complexo numa das suas linhas de montagem e pretende determinar quantas componentes de peças de substituição deve adquirir em relação a um elemento importante desse equipamento. A componente custa agora 10 000 €. Porém, se for comprada posteriormente à instalação do equipamento terá que ser fabricada por encomenda e custará 250 000 euros. No fim do período de vida útil do equipamento, estima-se que as componentes em sobra possuem um valor residual de 10 000 euros. Prevê-se que o equipamento dure 5 anos e que, durante esse período, o número de substituições obedeça a uma distribuição de Poisson com média 2 unidades. Considere uma taxa de actualização de 7,5% ao ano.

a)	Determine quantas componentes devem ser adquiridas conjuntamente com o equipamento;

b)	Em relação à política óptima, determine os custos esperados totais associados à existência de rupturas e a probabilidade de ser preciso mandar fazer alguma componente durante o período de vida útil do equipamento.

2.	A organização ABA vai realizar uma convenção daqui a 6 meses e precisa de decidir quantos quartos reservar no hotel da conferência. Os quartos reservados agora custam $50, mas ainda não se sabe quantas pessoas virão à conferência. Pensa-se que o número de quartos necessários seguirá uma distribuição normal com média 5 000 quartos e desvio padrão 2 000.

Se reservarem quartos a menos, cada quarto extra custará $80 e, como são mais distantes, tornam-se incómodos. Poder-se-á avaliar esse incómodo em $10 por quarto.

Se o objectivo for minimizar o custo esperado à ABA (e aos seus membros), quantos quartos devem ser reservados agora no hotel da convenção?

Suponha que a gerência devolve 20% do preço no caso de um quarto não ser utilizado. Determine, neste caso, o número de quartos a reservar.

3.	Um grossista recebeu de um fornecedor habitual de bicicletas uma última proposta de aquisição de um modelo cuja produção vai ser abandonada. Esta oportunidade oferecida pelo fornecedor tem um preço especial de 20 u.m. por bicicleta e coincide com o período de Natal. O grossista apurou os seguintes dados:

Os custos administrativos e de capital empatado relativos a uma bicicleta em inventário no fim do período de Natal de são de 1 u.m.;

O preço de venda de cada bicicleta durante o período de Natal é de 45 u.m.;

A quantidade de bicicletas vendidas durante o período de Natal obedece a uma distribuição exponencial com média 10 000 unidades;

O preço de venda de cada bicicleta nos saldos, a seguir ao Natal, é de 10

u.m.;

Foram estudadas duas alternativas para o problema da ruptura de stock: (1) perder o cliente e (2) recorrer a um outro armazém que fornece as bicicletas ao preço de venda (45 u.m.), incorrendo ainda o grossista num custo de transporte de 2 u.m. por artigo;

Se as bicicletas se esgotarem, o custo associado à perda de imagem é negligenciável.

Determine, de forma justificada, qual a melhor alternativa de resolução das situações de ruptura;

Determine a política óptima e respectivos custos associados;

Resolva o problema considerando que existe um custo de encomenda de 12 000 u.m. e existe um stock inicial de 5000 unidades;

d)	Determine a política óptima supondo válida apenas a 1ª alternativa, em caso de ruptura de stock, e que a procura durante o período de Natal

d.1) segue uma distribuição U(5 000; 10 000);

d.2) segue uma distribuição de Poisson com média 10 000;

d.3) segue uma distribuição N(10 000; 1000);

d.4) assume, com igual probabilidade, os valores (em milhares) 1, 2,…, 14, 15.

Um estudante está interessado em saber quanto dinheiro deve retirar da sua conta “poupança-férias”, para comprar “traveler´s checks” para a viagem pela Europa que tenciona fazer durante as férias de verão. O estudante já comprou 1 200 u.m. em “traveler´s checks”, com dinheiro dessa conta, mas receia que seja insuficiente. O estudante estimou as probabilidades associadas às suas necessidades, tendo construído a seguinte tabela:

Se resolver trocar menos dinheiro do que o necessário, terá de acabar as férias uma semana mais cedo por cada 100 u.m. em falta. O estudante valoriza por 150 u.m. cada semana que consiga passar na Europa, representando assim cada semana a menos uma perda de 50 u.m.. Cada cheque de 100 u.m. custa uma u.m.. Cada cheque que lhe sobre no final da viagem e que será reposto na referida conta, depois de deduzidas as comissões, valerá 98 u.m..

Diga quantos mais “traveler´s check” de 100 u.m. deve o estudante comprar.

O dono da Skilândia, uma loja perto de estâncias de ski europeias, pretende saber o número de skis que deve ter para vender na próxima época de 4 meses. Cada par de skis adquirido antes do início da época custa-lhe 12 u.m., triplicando o preço caso tenha que os comprar durante a época. Estima-se que o número de pares de skis procurados mensalmente durante a época siga uma distribuição normal de média 4000 e desvio padrão 500. O dono da Skilândia tem de pagar 5 u.m. por cada par de skis em armazém no final da época, vendendo de seguida cada par por apenas 10 u.m..

Determine quantos pares de skis deve o dono da loja adquirir, supondo que já tem 200 armazenados. Qual a probabilidade de ruptura?

No máximo, quanto estaria o dono da loja disposto a pagar pela armazenagem de um par de skis se pretender uma probabilidade de ruptura nunca superior a 20%? Verifique se a política óptima se mantém.

Uma loja de computadores vende uma média de 1 000 caixas de discos por ano. A procura anual segue uma distribuição normal com media 1 000 e desvio padrão 40,8. Cada encomenda demora duas semanas a ser entregue. O custo por encomenda é $50 e o custo de possuir uma caixa durante um ano é $10. O custo de ruptura é $20 por cada caixa. O gerente da loja pensa que toda a procura pode ser satisfeita com atraso.

Qual a política de aprovisionamento que deve ser seguida?

A procura de certo produto, num único período, ocorre no início do período e obedece a distribuição uniforme de 0 a 10 unidades. O custo unitário de posse no fim do período é de $0,50. O custo unitário de ruptura é de $4,50. O custo fixo de encomenda é de $5,00. Existem 6 unidades em armazém.

Deve ser feita alguma encomenda para este período? Se sim, qual o seu montante? Se não, indique a política a seguir no futuro.

Numa pequena loja de bairro, a procura semanal de determinado artigo segue uma distribuição exponencial de média 600. De cada vez que o lojista pede uma nova encomenda, incorre num custo de 25u.m., demorando uma semana a chegar. O custo unitário de posse é de 0.05u.m. por semana. O custo unitário por venda diferida é de 0.5 u.m..

Determine a política óptima de aprovisionamento.

Considere uma empresa que encomenda quantidades fixas em intervalos de tempo variáveis (quando o stock atinge determinado nível), com vendas diferidas e a assumir os seguintes dados:

D = 1 200 unidades/ano

Prazo de reaprovisionamento = 1 semana

C. Lançamento da encomenda = 800 u.m.

Custo unitário aquisição = 100 u.m.

Taxa de posse = 0,12

C. Ruptura / unidade diferida = 200 u.m.

Procura mensal = N (100, 20)

Determine o ponto de encomenda que optimiza o custo total por unidade de tempo para a quantidade da encomenda 100;

Se o ponto de encomenda for 50 unidades, qual é a quantidade da encomenda que minimiza o custo total por unidade de tempo?

Determine a política óptima;

Suponha que o custo de ruptura é desconhecido, mas a empresa considera que é elevado devido à degradação da sua imagem e, por isso, estabelece um nível de serviço dado pela percentagem esperada da procura que é satisfeita em 98%. Determine a política de aprovisionamento. Qual é neste caso o custo de ruptura implícito?

Resolva a alínea anterior, mas considerando que a medida do nível de serviço é dada pelo número esperado de ciclos durante o ano em que ocorre ruptura e esse nível deve ser no máximo 0,5. Qual o custo de ruptura implícito?

Resolva as alíneas anteriores supondo os mesmos dados mas para um sistema de vendas perdidas.

Num modelo de período único com procura exponencial, de valor esperado λ, determine:

a)	A probabilidade de ruptura em função da encomenda;

b)	A quantidade a encomendar em função dos custos unitários do sistema.

11.	Uma empresa comercializa um produto cuja procura média anual é uma v. a. normal de média 10 000 unidades e desvio padrão 900. O custo à saída do fornecedor é de 50 $/unidade. O frete custa 5 $/unidade e o seguro custa 2% sobre o preço de aquisição. Ao entrar em armazém o produto tem custos de movimentação de 1 $/unidade. Os custos de inspecção e controle têm uma componente fixa de 500 $ e uma componente variável de 0,5 $/unidade. O custo de cada encomenda é de 600 $. O prazo de reaprovisionamento é de 15 dias e a taxa de posse é de 15% ao ano. Caso o produto não esteja disponível, a empresa vai à concorrência comprá-lo por 66 $/unidade e paga um frete (incluindo seguro) de 1 $/unidade, sendo imediatamente entregue.

a)	Sabendo que a empresa encomenda sempre a mesma quantidade ao longo do ano, determine a política a seguir;

b)	Supondo que o meio de transporte utilizado tem apenas capacidade para 1200 unidades, determine neste caso a política;

c)	Acha que vale a pena negociar um meio de transporte com capacidade para 1700 e um custo adicional de 450 $ por cada viagem? Justifique.

12.	Considere o exercício 9, mas em que a empresa adopta um sistema de revisão periódica (calendário), com revisões mensais, com custo de revisão igual a 200 um..

a)	Determine a política de aprovisionamento, incluindo o stock de segurança, probabilidade de ruptura e custo anual médio;

Suponha que o custo de ruptura é desconhecido e a empresa estabelece um nível de serviço dado pelo número esperado de ciclos durante o ano em que ocorre ruptura e que esse nível deve ser no máximo 0,5. Determine a política de aprovisionamento neste caso. Qual é, neste caso, o custo de ruptura implícito?;

Suponha que o custo de ruptura é desconhecido e a empresa estabelece um nível de serviço dado pela percentagem esperada da procura que é satisfeita em 99%. Determine a política de aprovisionamento. Qual é neste caso o custo de ruptura implícito?